Cụ thể nếu hàm F: Rn → Rm là một hàm từ không gian Ơclít n chiều đến một không gian Ơclít m chiều, nó sẽ có m thành phần:

y1(x1,...,xn)...ym(x1,...,xn).

Đạo hàm riêng bậc nhất của các hàm này (nếu tồn tại) sẽ có thể được xếp thành một ma trận có kích thước m nhân n, chính là ma trận Jacobi của F:

[ ∂ y 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ y 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y m ∂ x 1 ⋯ ∂ y m ∂ x n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}

Có thể ký hiệu ma trận này là:

J F ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n})}

hay:

∂ ( y 1 , … , y m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}

Như vậy, hàng thứ i của ma trận là gradient của thành phần yi với i=1,...,m.

Nếu p là một điểm trong không gian Rn và F là khả vi tại p, và các đạo hàm riêng của F tại p chính là JF(p). Lúc này, JF(p) là một hàm tuyến tính và là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của F xung quanh p, theo nghĩa là:

F ( x ) ≈ F ( p ) + J F ( p ) ⋅ ( x − p ) {\displaystyle F(\mathbf {x} )\approx F(\mathbf {p} )+J_{F}(\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )}

cho x nằm gần p.